Aksjomatyka: myśl matematyczna i wysoki modernizm Almy Steingart Uniw. Chicagowska prasa (2022)

Prace matematyków sprzed wieków, a nawet tysiącleci przemawiają do ich żyjących rówieśników w sposób, który dla praktyków innych dyscyplin musi być zaskakujący. Dowód Euklidesa, że ​​lista liczb pierwszych nigdy się nie kończy, jest teraz równie elegancki i jasny, jak był w około 300 r.pnekiedy pojawił się w jego książce Elementy.

Jednak matematyka przeszła ogromne zmiany, zwłaszcza w XX wieku, kiedy to wkroczyła coraz głębiej w sferę abstrakcji. Ten wstrząs obejmował nawet redefinicję samej definicji, jak wyjaśnia Alma Steingart Aksjomatyka.

Steingart, historyk nauki, uważa tę rewolucję za kluczową dla ruchów modernistycznych, które zdominowały w połowie XX wieku sztukę i nauki społeczne, zwłaszcza w Stanach Zjednoczonych. Dążenie matematyków do abstrakcji znalazło odzwierciedlenie – i często bezpośrednio wywołane – równoległe trendy w ekonomii, socjologii, psychologii i naukach politycznych. Steingart cytuje niektórych naukowców, którzy postrzegali swoje wyzwolenie od zwykłego wyjaśniania świata przyrody jako analogiczne do tego, jak abstrakcyjny ekspresjonizm uwolnił malarstwo z kajdan rzeczywistości.

Klasyfikacja matematyczna przechodzi rewizję

Matematyka zamknięta w Euklidesie Elementy zaczął od fundamentalnych prawd zwanych aksjomatami i budował stwierdzenia poprzez logiczne dedukcje. Dla Euklidesa aksjomaty takie jak „każdy odcinek prosty można rozciągnąć do nieskończonej linii” były oczywiste, ponieważ były zakorzenione w rzeczywistości fizycznej.

Przez wieki kultura zachodnia była czczona Elementy jako wzór intelektualnego rygoru. W XVII wieku teoretyk polityki Thomas Hobbes nazwał książkę „strukturalnym modelem stabilnego społeczeństwa”, a filozof Baruch Spinoza przyjął jej strukturę aksjomatów i dedukcji w swoim traktacie o etyce. Tymczasem Kościół katolicki traktował dzieło Euklidesa jako dogmat, sposób na zakotwiczenie się w tym, co uważał za anarchię wywołaną przez reformację protestancką (a także na ochronę przed rewolucyjnym zagrożeniem ze strony „nieskończenie małych” liczb wprowadzonych do rachunku różniczkowego, jak wyjaśnia Amir Alexander w swojej intrygującej książce z 2014 roku Nieskończenie mały).

Rozbieżne światy

Nowoczesna matematyka wywraca do góry nogami Euklidesową zasadę aksjomatów wyprowadzonych z rzeczywistości fizycznej. Matematycy mogą podążać za impulsami twórczymi i wymyślać dowolne zestawy aksjomatów — na przykład wymyślając geometrie nieeuklidesowe, w których proste równoległe zbiegają się lub rozchodzą.

W tej koncepcji tworzenie teorii matematycznej przypomina ustalanie reguł gry, takiej jak szachy, w której nazwy, kształty i role figur są czysto umowne. Tak jak ktoś może zacząć od reguł gry w szachy i określonej konfiguracji szachownicy i dojść do przewidywania „szach-mat w pięciu ruchach”, tak matematyk może zacząć od aksjomatów i przejść przez sekwencję logicznych kroków, aby udowodnić prawdziwość twierdzenie, nie martwiąc się, jaką rzeczywistość reprezentuje.

Dla konstruktora teorii matematycznych abstrakcja nie jest celem, ale podróżą. Jak to ujął Steingart, „abstrakcyjny” nie jest przymiotnikiem, lecz czasownikiem: „abstrahować”. W latach trzydziestych XX wieku, głównie pod wpływem niemieckiej matematyk Emmy Noether, matematycy zaczęli konstruować systemy aksjomatyczne, które były coraz bardziej abstrakcyjne i ogólne. To ujawniło, że znane obiekty, takie jak liczby, tasowanie kart i symetrie geometryczne, są szczególnymi przypadkami tej samej koncepcji.

Tendencja do abstrakcji i uogólnień jest często kojarzona ze szkołą matematyczną, która rozkwitła we Francji po drugiej wojnie światowej. Jednak, jak pokazuje Steingart, zakorzeniła się w latach trzydziestych XX wieku w Stanach Zjednoczonych i zdefiniowała kulturę matematyczną tego kraju w połowie stulecia. Steingart jest przykładem trendu z historią Podstawy topologii algebraicznej, książka z 1952 roku autorstwa amerykańskich matematyków Samuela Eilenberga i Normana Steenroda. Zajmował się różnymi technikami obliczeniowymi w celu rozróżnienia kształtów geometrycznych, ale autorzy wprowadzili temat od tyłu, twierdząc, że uczniowie powinni najpierw zapoznać się z wysoce technicznymi narzędziami algebraicznymi, a dopiero później dowiedzieć się, jakie znaczenie mają one dla kształtów lub dlaczego narzędzia te w ogóle istnieją .

Dziwna topologia, która zmienia fizykę

Centralna teza w Aksjomatyka polega na tym, że amerykańscy matematycy postrzegali proces abstrakcji i uogólniania nie jako przeciwieństwo rzeczywistego świata, ale jako kluczowy dla tego, w jaki sposób matematyka — a raczej myślenie matematyczne — może być stosowane do praktycznych problemów. „Matematyzowanie” problemu nie oznaczało mierzenia i obliczania, ale ujawnienie ukrytego szkieletu relacji pojęciowych: sformułowanie leżącej u podstaw idei w abstrakcyjnym języku matematycznym.

Często oznaczało to niestosowanie istniejących koncepcji matematycznych, ale wymyślanie nowych. Wpływowym przykładem była książka z 1944 roku Teoria gier i zachowań ekonomicznych, który ustanowił współczesną teorię gier i zawierał bardzo niezobowiązujące implikacje dla strategii obrony nuklearnej. Śledząc imponującą sieć powiązań, Steingart pokazuje, w jaki sposób autorzy, amerykański matematyk John von Neumann i niemiecki ekonomista Oskar Morgenstern, nie tylko pomogli zdefiniować związek między nauką a polityką podczas zimnej wojny, ale także dostarczyli modelu dla dalszych próby matematyzacji w naukach społecznych.

Wzięty w nadmiarze

Jak na ironię, nawet gdy niektórzy matematycy argumentowali, że myślenie abstrakcyjne jest kluczem do zastosowania matematyki w innych dyscyplinach — i sugerowali, że nawet najbardziej abstrakcyjna matematyka jest warta publicznego finansowania — większość matematyków w środowisku akademickim wydawała się wyjątkowo niezainteresowana angażowaniem się. Przez dziesięciolecia znaczna część postępu w matematyce stosowanej dokonywała się nie na uniwersytetach, ale w think tankach i laboratoriach przemysłowych lub w nowo powstałych wydziałach zajmujących się takimi dziedzinami jak informatyka czy statystyka.

W końcu matematyków dopadł nadmiar abstrakcji. Steingart szkicuje, jak w drugiej połowie XX wieku sytuacja się odwróciła: podaje przykład Williama Thurstona, niezwykle wpływowego topologa, który lubił sprawiać, by jego złożone konstrukcje geometryczne wydawały się fizycznie realne.

Jednym z głównych osiągnięć, o których nie wspomina, jest odnowiona wymiana doświadczeń z fizyką teoretyczną pod koniec XX wieku. Obejmuje to zastosowanie topologii do innowacji, takich jak materiały „topologiczne” — które mogłyby nawet stanowić podstawę superpotężnych komputerów kwantowych — oraz rozwój teorii strun, która być może nie dała fizykom długo poszukiwanej teorii wszystkiego, ale zainspirował wiele prac doktorskich z matematyki. Istnieją też anegdotyczne dowody na to, że mniej więcej w ciągu ostatniej dekady bariery między matematyką czystą a stosowaną zaczęły się zmniejszać: nierzadko zdarza się, że badacze z najbardziej abstrakcyjnych obszarów dziedziny „brudzą sobie ręce” zastosowaniami takich jak analiza danych.

Tymczasem podejście Eilenberga i Steenroda do pedagogiki zaczęto postrzegać jako przestrogę, a ich techniki, choć wciąż szeroko stosowane, pieszczotliwie nazywano „abstrakcyjnymi bzdurami”. Ale w innym zwrocie losu, często obserwowanym w historii matematyki i fizyki, niektórzy fizycy uważają teraz techniki abstrakcyjno-nonsensowne za obiecujące podejście do opracowania kwantowej teorii grawitacji – być może dostarczając inną drogę do bardzo realnego, choć abstrakcyjnego celu z teorii wszystkiego.