Jak matematyka przestała być definiowana przez rzeczywistość — i zaczęła wymyślać nowe
![Jak matematyka przestała być definiowana przez rzeczywistość — i zaczęła wymyślać nowe](https://oen.pl/wp-content/uploads/2023/01/d41586-023-00087-0_23907292-770x470.jpg)
![Najstarszy rękopis Elementów Euklidesa, uważany za dokument założycielski matematyki, napisany odręcznie w 888 r. na pergaminie.](https://oen.pl/wp-content/uploads/2023/01/Jak-matematyka-przestala-byc-definiowana-przez-rzeczywistosc-—-i-zaczela.jpg)
Euklidesa Elementy stworzył podstawy matematyki.Źródło: Tim Ockenden/PA/Alamy
Aksjomatyka: myśl matematyczna i wysoki modernizm Almy Steingart Uniw. Chicagowska prasa (2022)
Prace matematyków sprzed wieków, a nawet tysiącleci przemawiają do ich żyjących rówieśników w sposób, który dla praktyków innych dyscyplin musi być zaskakujący. Dowód Euklidesa, że lista liczb pierwszych nigdy się nie kończy, jest teraz równie elegancki i jasny, jak był w około 300 r.pnekiedy pojawił się w jego książce Elementy.
Jednak matematyka przeszła ogromne zmiany, zwłaszcza w XX wieku, kiedy to wkroczyła coraz głębiej w sferę abstrakcji. Ten wstrząs obejmował nawet redefinicję samej definicji, jak wyjaśnia Alma Steingart Aksjomatyka.
Steingart, historyk nauki, uważa tę rewolucję za kluczową dla ruchów modernistycznych, które zdominowały w połowie XX wieku sztukę i nauki społeczne, zwłaszcza w Stanach Zjednoczonych. Dążenie matematyków do abstrakcji znalazło odzwierciedlenie – i często bezpośrednio wywołane – równoległe trendy w ekonomii, socjologii, psychologii i naukach politycznych. Steingart cytuje niektórych naukowców, którzy postrzegali swoje wyzwolenie od zwykłego wyjaśniania świata przyrody jako analogiczne do tego, jak abstrakcyjny ekspresjonizm uwolnił malarstwo z kajdan rzeczywistości.
Klasyfikacja matematyczna przechodzi rewizję
Matematyka zamknięta w Euklidesie Elementy zaczął od fundamentalnych prawd zwanych aksjomatami i budował stwierdzenia poprzez logiczne dedukcje. Dla Euklidesa aksjomaty takie jak „każdy odcinek prosty można rozciągnąć do nieskończonej linii” były oczywiste, ponieważ były zakorzenione w rzeczywistości fizycznej.
Przez wieki kultura zachodnia była czczona Elementy jako wzór intelektualnego rygoru. W XVII wieku teoretyk polityki Thomas Hobbes nazwał książkę „strukturalnym modelem stabilnego społeczeństwa”, a filozof Baruch Spinoza przyjął jej strukturę aksjomatów i dedukcji w swoim traktacie o etyce. Tymczasem Kościół katolicki traktował dzieło Euklidesa jako dogmat, sposób na zakotwiczenie się w tym, co uważał za anarchię wywołaną przez reformację protestancką (a także na ochronę przed rewolucyjnym zagrożeniem ze strony „nieskończenie małych” liczb wprowadzonych do rachunku różniczkowego, jak wyjaśnia Amir Alexander w swojej intrygującej książce z 2014 roku Nieskończenie mały).
Rozbieżne światy
Nowoczesna matematyka wywraca do góry nogami Euklidesową zasadę aksjomatów wyprowadzonych z rzeczywistości fizycznej. Matematycy mogą podążać za impulsami twórczymi i wymyślać dowolne zestawy aksjomatów — na przykład wymyślając geometrie nieeuklidesowe, w których proste równoległe zbiegają się lub rozchodzą.
W tej koncepcji tworzenie teorii matematycznej przypomina ustalanie reguł gry, takiej jak szachy, w której nazwy, kształty i role figur są czysto umowne. Tak jak ktoś może zacząć od reguł gry w szachy i określonej konfiguracji szachownicy i dojść do przewidywania „szach-mat w pięciu ruchach”, tak matematyk może zacząć od aksjomatów i przejść przez sekwencję logicznych kroków, aby udowodnić prawdziwość twierdzenie, nie martwiąc się, jaką rzeczywistość reprezentuje.
![Diagramy ilustrujące matematykę okręgów z pierwszych sześciu ksiąg Elementów Euklidesa.](https://oen.pl/wp-content/uploads/2023/01/1673901048_888_Jak-matematyka-przestala-byc-definiowana-przez-rzeczywistosc-—-i-zaczela.jpg)
Geometria Euklidesa była zakorzeniona w rzeczywistości — ale współczesna matematyka jest mniej ograniczona.Źródło: SSPL/Getty
Dla konstruktora teorii matematycznych abstrakcja nie jest celem, ale podróżą. Jak to ujął Steingart, „abstrakcyjny” nie jest przymiotnikiem, lecz czasownikiem: „abstrahować”. W latach trzydziestych XX wieku, głównie pod wpływem niemieckiej matematyk Emmy Noether, matematycy zaczęli konstruować systemy aksjomatyczne, które były coraz bardziej abstrakcyjne i ogólne. To ujawniło, że znane obiekty, takie jak liczby, tasowanie kart i symetrie geometryczne, są szczególnymi przypadkami tej samej koncepcji.
Tendencja do abstrakcji i uogólnień jest często kojarzona ze szkołą matematyczną, która rozkwitła we Francji po drugiej wojnie światowej. Jednak, jak pokazuje Steingart, zakorzeniła się w latach trzydziestych XX wieku w Stanach Zjednoczonych i zdefiniowała kulturę matematyczną tego kraju w połowie stulecia. Steingart jest przykładem trendu z historią Podstawy topologii algebraicznej, książka z 1952 roku autorstwa amerykańskich matematyków Samuela Eilenberga i Normana Steenroda. Zajmował się różnymi technikami obliczeniowymi w celu rozróżnienia kształtów geometrycznych, ale autorzy wprowadzili temat od tyłu, twierdząc, że uczniowie powinni najpierw zapoznać się z wysoce technicznymi narzędziami algebraicznymi, a dopiero później dowiedzieć się, jakie znaczenie mają one dla kształtów lub dlaczego narzędzia te w ogóle istnieją .
Dziwna topologia, która zmienia fizykę
Centralna teza w Aksjomatyka polega na tym, że amerykańscy matematycy postrzegali proces abstrakcji i uogólniania nie jako przeciwieństwo rzeczywistego świata, ale jako kluczowy dla tego, w jaki sposób matematyka — a raczej myślenie matematyczne — może być stosowane do praktycznych problemów. „Matematyzowanie” problemu nie oznaczało mierzenia i obliczania, ale ujawnienie ukrytego szkieletu relacji pojęciowych: sformułowanie leżącej u podstaw idei w abstrakcyjnym języku matematycznym.
Często oznaczało to niestosowanie istniejących koncepcji matematycznych, ale wymyślanie nowych. Wpływowym przykładem była książka z 1944 roku Teoria gier i zachowań ekonomicznych, który ustanowił współczesną teorię gier i zawierał bardzo niezobowiązujące implikacje dla strategii obrony nuklearnej. Śledząc imponującą sieć powiązań, Steingart pokazuje, w jaki sposób autorzy, amerykański matematyk John von Neumann i niemiecki ekonomista Oskar Morgenstern, nie tylko pomogli zdefiniować związek między nauką a polityką podczas zimnej wojny, ale także dostarczyli modelu dla dalszych próby matematyzacji w naukach społecznych.
Wzięty w nadmiarze
Jak na ironię, nawet gdy niektórzy matematycy argumentowali, że myślenie abstrakcyjne jest kluczem do zastosowania matematyki w innych dyscyplinach — i sugerowali, że nawet najbardziej abstrakcyjna matematyka jest warta publicznego finansowania — większość matematyków w środowisku akademickim wydawała się wyjątkowo niezainteresowana angażowaniem się. Przez dziesięciolecia znaczna część postępu w matematyce stosowanej dokonywała się nie na uniwersytetach, ale w think tankach i laboratoriach przemysłowych lub w nowo powstałych wydziałach zajmujących się takimi dziedzinami jak informatyka czy statystyka.
W końcu matematyków dopadł nadmiar abstrakcji. Steingart szkicuje, jak w drugiej połowie XX wieku sytuacja się odwróciła: podaje przykład Williama Thurstona, niezwykle wpływowego topologa, który lubił sprawiać, by jego złożone konstrukcje geometryczne wydawały się fizycznie realne.
Jednym z głównych osiągnięć, o których nie wspomina, jest odnowiona wymiana doświadczeń z fizyką teoretyczną pod koniec XX wieku. Obejmuje to zastosowanie topologii do innowacji, takich jak materiały „topologiczne” — które mogłyby nawet stanowić podstawę superpotężnych komputerów kwantowych — oraz rozwój teorii strun, która być może nie dała fizykom długo poszukiwanej teorii wszystkiego, ale zainspirował wiele prac doktorskich z matematyki. Istnieją też anegdotyczne dowody na to, że mniej więcej w ciągu ostatniej dekady bariery między matematyką czystą a stosowaną zaczęły się zmniejszać: nierzadko zdarza się, że badacze z najbardziej abstrakcyjnych obszarów dziedziny „brudzą sobie ręce” zastosowaniami takich jak analiza danych.
Tymczasem podejście Eilenberga i Steenroda do pedagogiki zaczęto postrzegać jako przestrogę, a ich techniki, choć wciąż szeroko stosowane, pieszczotliwie nazywano „abstrakcyjnymi bzdurami”. Ale w innym zwrocie losu, często obserwowanym w historii matematyki i fizyki, niektórzy fizycy uważają teraz techniki abstrakcyjno-nonsensowne za obiecujące podejście do opracowania kwantowej teorii grawitacji – być może dostarczając inną drogę do bardzo realnego, choć abstrakcyjnego celu z teorii wszystkiego.